Taylorkurver

Polynomer basert på taylorekspansjon som danner en basis for taylorkurver, se uttrykket (5.16) i Blendingsteknikker i kurve- og flatekonstruksjoner

En taylorkurve er uttrykt med følgende formel: \( C(t) = \displaystyle\sum_{i=0}^{d} C^{(i)}(t_0)\ \frac{(t-t_0)^i}{i!} \), hvor \(d\) er polynomgraden, og hvor \(c^{(0)}(t_0) = C(t_0)\), \(c^{(1)}(t_0) = C'(t_0)\) og så videre, og hvor \( \frac{(t-t_0)^i}{i!}, \ i=0,1,...,d \) er basisfunksjoner basert på taylorekspansjon. I figuren over er et sett med basisfunksjoner av grad \(d\) plottet. Legg merke til at parameterdomenet er bestemt i menyen øverst til høyre.

I figuren under har vi et punkt (grå femkant) med tilhørende 1.deriverte (røde vektor), 2.deriverte (gul vektor), ... opp til \(d.\)deriverte. Den grønne kurven er resultatet av taylorekspansjonen over parameterintervallet [parameterstart, parameterslutt]. I figuren er \( t_0 = 0\).

I menyen oppe til høyre kan du øverst bestemme graden \(d\) til kurven.
I de to påfølgende feltene i menyen bestemmer du parameterdomenet til kurven. Punktet er imidlertid låst til parameterverdien \(t_0=0\).
I figuren under kan du endre på pilene, som representerer deriverte av forskjellig orden. Du kan endre dem med å trykke venstre musknapp når markøren er over en pilspiss. Spissen til pila flyttes så lenge du holder knappen nede. Når du slipper knappen låses pila (den tilsvarende deriverte) og kurven oppdateres.

En taylorkurve er en kurver definert av taylorekspansjonen, da med utgangspunkt i et punkt og et sett med deriverte av påfølgende orden.

For å lage en taylorkurve trenger vi et punkt med tilhørende parameterverdi og en grad som angir hvor mange vektorer som representerer deriverte av påfølgende orden vi trenger.

Hvis vi ser på taylorbasisen av grad 3 får vi på matriseform: \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -t_0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{t_0^2}{2} & -t_0 & \frac{1}{2} & 0\\ \frac{-t_0^3}{6} & \frac{t_0^2}{2} & \frac{-t_0}{2} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ t\\ t^2 \\ t^3 \end{bmatrix} \). Denne matrisen er da basiskiftematrisen fra en monomial 3.grads basis til taylorbasisen av grad 3.

Hvis vi inverterer matrisen får vi: \( \begin{bmatrix} 1 \\ t\\ t^2 \\ t^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ t_0 & 1 & 0 & 0 \\ t_0^2 & 2t_0 & 2 & 0\\ t_0^3 & 3t_0^2 & 6t_0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ t-t_0\\ \frac{(t-t_0)^2}{2} \\ \frac{(t-t_0)^3}{6} \end{bmatrix} \). Denne matrisen er da basiskiftematrisen fra en taylorbasis til en 3.grads monomial basis.

Hvis \(t_0=0 \) får vi en enkel diaginalmatrise. Hvis graden er større enn 3 er det bare å legge til nye rader etter samme mønster. Ved grad 4 får den første matrisen en ny rad \(\begin{bmatrix} \frac{t_0^4}{24} & \frac{-t_0^3}{6} & \frac{t_0^2}{4} & \frac{-t_0}{6} & \frac{1}{24}\end{bmatrix}\) og den andre matrisen en ny rad \(\begin{bmatrix} t_0^4 & 4t_0^3 & 12t_0^2 & 24t_0 & 24\end{bmatrix}\).