Plottet er inspirert av kapittel 5.3 i boka.
En Lagrange - interpolasjonskurve har følgende formel: \( C(t) = \displaystyle\sum_{i=0}^{d} L_{d,i}(t)\ c_i\), der \(d\) er polynomgraden og hvor \(t \in[t_0, t_d]\), se kapittel 5.3 i boka. Lagrangepolynomene er basisfunksjonene med formelen: \(L_{d,i}(t) = \displaystyle\prod_{\substack{j=0\\ j\neq i}}^{d} \frac{(t-t_j)}{(t_i-t_j)} \) Følgende egenskap er det som gir interpolasjon: \(L_{d,i}(t_i) = 1\) og \(L_{d,i}(t_j) = 0, \ j \neq i\). Konstruksjonen av lagrangepolynomene er den enkleste og mest logiske for å oppnå nettopp disse egenskapene.
Den deriverte av et lagrangpolynom er: \( L'_{d,i}(t) = \displaystyle\sum_{\substack{j=0\\ j \neq i}}^{d} \left(\frac{1}{t_i-t_j} \displaystyle\prod_{\substack{k=0\\ k\neq (i,j)}}^{d} \frac{(t-t_j)}{(t_i-t_k)}\right) = L_{d,i}(t) \displaystyle\sum_{\substack{j=0\\ j \neq i}}^{d}\frac{1}{t-t_i} \).
For grad 3 vil vi få: \( L_{3,0}(t) = \frac{(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)}{(t_0-t_1)(t_0-t_2)(t_0-t_3)} \), \( L_{3,1}(t) = \frac{(t-t_0)(t-t_2)(t-t_3)}{(t_1-t_0)(t_1-t_2)(t_1-t_3)} \), \( L_{3,2}(t) = \frac{(t-t_0)(t-t_1)(t-t_3)}{(t_2-t_0)(t_2-t_1)(t_2-t_3)} \) og \( L_{3,3}(t) = \frac{(t-t_0)(t-t_1)(t-t_2)}{(t_3-t_0)(t_3-t_1)(t_3-t_2)} \). På matriseform er Lagrangpolynomene:
\( \begin{bmatrix} \frac{-t_1t_2t_3}{(t_0-t_1)(t_0-t_2)(t_0-t_3)} & \frac{t_1t_2+t_1t_3+t_2t_3}{(t_0-t_1)(t_0-t_2)(t_0-t_3)} & \frac{-(t_1+t_2+t_3)}{(t_0-t_1)(t_0-t_2)(t_0-t_3)} & \frac{1}{(t_0-t_1)(t_0-t_2)(t_0-t_3)}\\ \frac{-t_0t_2t_3}{(t_1-t_0)(t_1-t_2)(t_1-t_3)} & \frac{t_0t_2+t_0t_3+t_2t_3}{(t_1-t_0)(t_1-t_2)(t_1-t_3)} & \frac{-(t_0+t_2+t_3)}{(t_1-t_0)(t_1-t_2)(t_1-t_3)} & \frac{1}{(t_1-t_0)(t_1-t_2)(t_1-t_3)}\\ \frac{-t_0t_1t_3}{(t_2-t_0)(t_2-t_1)(t_2-t_3)} & \frac{t_0t_1+t_0t_3+t_1t_3}{(t_2-t_0)(t_2-t_1)(t_2-t_3)} & \frac{-(t_0+t_1+t_3)}{(t_2-t_0)(t_2-t_1)(t_2-t_3)} & \frac{1}{(t_2-t_0)(t_2-t_1)(t_2-t_3)}\\ \frac{-t_0t_1t_2}{(t_3-t_0)(t_3-t_1)(t_3-t_2)} & \frac{t_0t_1+t_0t_2+t_1t_2}{(t_3-t_0)(t_3-t_1)(t_3-t_2)} & \frac{-(t_0+t_1+t_2)}{(t_3-t_0)(t_3-t_1)(t_3-t_2)} & \frac{1}{(t_3-t_0)(t_3-t_1)(t_3-t_2)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ t\\ t^2 \\ t^3 \end{bmatrix} \). Denne matrisen er da basiskiftematrisen fra en monominal 3.grads basis til lagrangploynomene av grad 3.
Omvendt er basisskiftematrisen fra lagrangeploynomene av grad 3 til en monominal basis: \( \begin{bmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ t_{0} & t_{1} & t_{2} & t_{3} \\ t_{0}^{2} & t_{1}^{2} & t_{2}^{2} & t_{3}^{2} \\ t_{0}^{3} & t_{1}^{3} & t_{2}^{3} & t_{3}^{3} \end{bmatrix}\).