Hermitekurver

Hermitepolynomer av grad 3 som danner en basis for hermitekurver, se formlene fra uttrykket (4.19) i Blendingsteknikker i kurve- og flatekonstruksjoner

En hermitekurve er uttrykt med følgende formel: \( C(t) = \displaystyle\sum_{i=0}^{3} H_{i}(t)\ c_i \), hvor polynomgraden er 3, og hvor \(c_0 = C(0)\), \(c_1 = C(1)\) og \(c_2 = C'(0)\), \(c_3 = C'(1)\), og hvor \(H_{0}(t) = 2t^3-3t^2+1\), \(H_{1}(t) = -2t^3+3t^2\), \(H_{2}(t) = t^3-2t^2+t\) og \(H_{3}(t) = t^3-t^2\) er hermitebasisfunksjoner. I figuren over er et sett med 4 3.grads hermitebasisfunksjoner plottet. Legg merke til at parameterdomenet er \([0,\ 1]\), men kan være hva noe annet, men da med en reparametrisering.

I figuren under har vi ett sett med \(n+1\) kontrollpunkt (grå femkanter) med tilhørende 1.deriverte (røde vektorer). Tallet \(n\) representerer antall kurveintervall og kan settes til ett av tallene \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) i boksen oppe til høyre. I hvert intervaller det så plottet en hermitekurve fra punktene i de to endene og med de tilhørende 1.deriverte. Konstruksjonen kalles en hermitespline.

I menyen oppe til høyre kan du bestemme antallet intervall \(n\).
I figuren under kan du flytte på kontrollpuktene med å trykke venstre musknapp når markøren er over en av de grå femkantene som representerer et kontrollpunkt. Femkanten flyttes så lenge du holder knappen nede. Når du slepper knappen låses femkanten og kurven oppdateres. 1.derivertepilen følger med kontrollpunktet.
Du kan endre den 1.deriverte med å trykke venstre musknapp når markøren er over en rød pilspiss. Spissen til den røde pila flyttes så lenge du holder knappen nede. Når du slepper knappen låses pila (1.deriverte) og kurven oppdateres.

En hermitesplinekurve er en koblet sekvens av hermitekurver, med et felles punkt og 1.deriverte i skjøtene.

For å lage en hermitesplinekurve trenger vi en skjøtvektor (jmf. B-splines og hermiteinterpolasjon fra dividerte differanser). I kurven over er det brukt en uniform skjøtvektor \(\mathbf{t} = \{t_0, t_1, t_2, t_3, ... \} = \{0, 1, 2, 3, ... \}\).

Formlen for hvert intervall \(i\) er: \( c_i(t) = c(t_i) H_{i,0}(t)+c(t_{i+1}) H_{i,1}(t)+ c'(t_i) H_{i,2}(t)+c'(t_{i+1}) H_{i,3}(t) \) hvor: \(
\begin{array}[c]{lll}
H_{i,0}(t) & \hspace{-7pt} = \hspace{-7pt} & 2w_{i}(t)^3-3w_{i}(t)^2+1, \\
H_{i,1}(t) & \hspace{-7pt} = \hspace{-7pt} & -2w_{i}(t)^3+3w_{i}(t)^2, \\
H_{i,2}(t) & \hspace{-7pt} = \hspace{-7pt} & \Delta t_i\left(w_{i}(t)^3-2w_{i}(t)^2 + w_{i}(t)\right), \\
H_{i,3}(t) & \hspace{-7pt} = \hspace{-7pt} & \Delta t_i\left(w_{i}(t)^3-w_{i}(t)^2\right),
\end{array}
\) ((5.13) i boka) hvor \( w_{i}(t)= \frac{t - t_i}{t_{i+1} - t_i}\) og \( \Delta t_i = t_{i+1} - t_i = \frac{1}{w'_i}\). Videre er de deriverte: \( \begin{array}[c]{lll}
H'_{i,0}(t) & \hspace{-7pt} = \hspace{-7pt} & 6\frac{(w_{i}(t)^2-w_{i}(t))}{\Delta t_i}, \\
H'_{i,1}(t) & \hspace{-7pt} = \hspace{-7pt} & -6\frac{(w_{i}(t)^2-w_{i}(t))}{\Delta t_i}, \\
H'_{i,2}(t) & \hspace{-7pt} = \hspace{-7pt} & 3w_{i}(t)^2-4w_{i}(t) + 1, \\
H'_{i,3}(t) & \hspace{-7pt} = \hspace{-7pt} & 3w_{i}(t)^2-2w_{i}(t).
\end{array}
\)

Hvis vi ser på hermitebasisen av grad 3 over domenet \( [0, 1]\) har vi: \(2t^3 -3t^2 +1\), \( -2t^3 + 3t^2\), \(t^3-2t^2+t\) og \(t^3 -t^2\). Satt opp på matriseform er hermitepolynomene: \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 & 2\\ 0 & 0 & 3 & -2\\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ t\\ t^2 \\ t^3 \end{bmatrix} \). Denne matrisen er da basiskiftematrisen fra en monominal 3.grads basis til hermitebasisen av grad 3. Se tabell 4.1 i blendingsboka.

Hermitesplinekurver